Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m，（m∈R），且当x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时，f（x）的最小值为2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再把所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算得答f（x），然后利用降幂公式和辅助角公式化简，再由复合函数的单调性求得函数的单调增区间；
（2）由已知x的范围求得函数的最小值，得到m值，再由函数图象的平移得答案．

解答 解：（1）∵（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+m$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+m+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调递增区间[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时，$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x$+\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，则f（x）_min=m=2，
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$，
将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，
所得函数解析式为y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+3，
再把所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，
则g（x）=2sin[4（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+3=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）+3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．