Question

11．已知函数f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角及辅助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，函数f（x）单调递减，解得f（x）的单调递减区间；
（3）根据正弦函数图象，f（x）=0，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0，解得2x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z），当k=10，为f（x）的第10个零点，求得m的最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$．
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
f（x）的最小正周期π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
解得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，（k∈Z），
∴函数的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z）；
（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，
由正弦函数周期性，可知：f（x）=0，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0，
解得：2x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z），
∴x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，
∴当k=10，x=$\frac{39π}{8}$，
正数m的最小值$\frac{39π}{8}$．

点评 本题考查三角恒等变换，二倍角公式及辅助角公式，考查正弦函数周期公式，单调性，正弦函数零点的应用，考查计算能力，属于中档题．