Question

2．如图，已知点A（1，0），B是单位圆x²+y²=1上一动点，且点B是线段AC的中点．
（1）若点C在y轴的正半轴上，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）若∠AOB=$\frac{2π}{3}$，求点A到直线OC的距离．

Answer 1

分析 （1）由点C在y轴正半轴上，可得x_C=0，又点B是线段AC的中点，利用中点坐标公式可得x_B，即可得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（2）由$∠AOB=\frac{2π}{3}$，可得$B（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，利用中点坐标公式可得：C坐标，可得直线OC的方程，利用点A到直线OC的距离公式即可得出．

解答 解：（1）∵点C在y轴正半轴上，
∴x_C=0，又点B是线段AC的中点，
∴x_A+x_C=2x_B，∴${x_B}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$．
（2）∵$∠AOB=\frac{2π}{3}$，∴$B（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
由点B是线段AC的中点，∴$C（-2，\sqrt{3}）$，
∴直线OC的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，即$\sqrt{3}x+2y=0$，
∴点A到直线OC的距离$d=\frac{{|{\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+4}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了中点坐标公式、直线方程、单位圆、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．