Question

13．数列{a_n}满足递推式：a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ，若数列{$\frac{a_n}{3^n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}为等差数列，则实数λ=-1．

Answer 1

分析 将递推式a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ2ⁿ两边同除以3ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$=$\frac{an}{3n}$+1+$\frac{λ}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，可得$\frac{an+1}{3n+1}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{an}{3n}$+$\frac{λ-2}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+1，利用数列{$\frac{a_n}{3^n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}为等差数列，即可得出．

解答 解：将递推式a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ2ⁿ两边同除以3ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$=$\frac{an}{3n}$+1+$\frac{λ}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．
两边同减（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{an}{3n}$+$\frac{λ-2}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+1，
由于{$\frac{an}{3n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}为等差数列，∴$\frac{λ-2}{3}$=-1，解得λ=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的定义，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．