Question

3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点
（1）求该抛物线方程；
（2）若直线l过抛物线的焦点，且线段AB中点的横坐标为2，求弦AB的长；
（3）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为：y²=2px，利用点P（1，2）在抛物线上，求出p，即可求出抛物线的方程；
（2）由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出x₁+x₂，利用弦长公式x₁+x₂+p求出AB的长；
（3）设l：x=ty+b代入抛物线方程y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，即可证明结论．

解答 解：（1）设抛物线的方程为：y²=2px，
∵点P（1，2）在抛物线上，
∴4=2p，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设A、B两点横坐标分别为x₁，x₂，
因为线段AB中点的横坐标为2，
所以x₁+x₂=4，
故|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．
证明：（3）设l：x=ty+b代入抛物线方程y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．
令b²-4b=-4，
∴b²-4b+4=0，
∴b=2，
∴直线l过定点（2，0）．
∴若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，则直线l必过一定点．

点评 本题考查抛物线的方程，考查弦长问题，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力．对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．