Question

8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）．
（1）若x∈[2，6]时，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；
（2）若φ=$\frac{π}{6}$且函数f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）若φ=0且函数f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；
（2）根据φ=$\frac{π}{6}$时函数f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；
（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），
当x∈[2，6]时，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2，
∴T=2（6-2）=8=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）；
把（2，2）代入f（x）得2=2sin（$\frac{π}{2}$+φ），∴cosφ=1；
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=0；
（2）当φ=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，
∴$\frac{π}{6}$≤ωx+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，
解得ω≤1；
又ω＞0，
∴ω的取值范围是（0，1]；
（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，
∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，
只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，
∴$\frac{9}{2}$T≤π＜5T，即$\frac{9}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≤π＜5•$\frac{2π}{ω}$，
解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合性题目．