Question

14．已知函数f（x）=|ln（x-1）|，若实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（b），则-a+5b的取值范围为（　　）

• A． （5，8）
• B． （8，9）
• C． （5，9）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 根据f（x）的性质可得ln（a-1）+ln（b-1）=0，从而得出a，b的关系，从而得出得出-a+5b关于b（或者a）的函数，求出此函数的值域即可．

解答 解：f（x）=|ln（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{-ln（x-1），1＜x≤2}\\{ln（x-1），x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵f（a）=f（b），a＜b，
∴ln（a-1）+ln（b-1）=0，即ln[（a-1）（b-1）]=0，且1＜a＜2，b＞2．
∴（a-1）（b-1）=1．
∴a=$\frac{1}{b-1}+1$=$\frac{b}{b-1}$．
∴-a+5b=$\frac{-b}{b-1}$+5b=$\frac{5{b}^{2}-6b}{b-1}$=$\frac{5（b-1）^{2}+4（b-1）-1}{b-1}$=5（b-1）-$\frac{1}{b-1}$+4，
令b-1=t，g（t）=5t-$\frac{1}{t}$+4，则g（t）在（2，+∞）上是增函数，且g（2）=8，
∴g（t）的值域为（8，+∞）．
∴-a+5b的范围是（8，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与最值，对数函数的性质，属于中档题．