Question

2．设实数x∈R，则y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 把已知函数解析式变形，然后分x+1＞0和x+1＜0分类求解得答案．

解答 解：y=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}-1$．
当x+1＞0时，$x+1+\frac{1}{x+1}≥2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}=2$，
当且仅当$x+1=\frac{1}{x+1}$，即x=0时等号成立，此时y≥1；
当x+1＜0时，$x+1+\frac{1}{x+1}=-[-（x+1）+\frac{1}{-（x+1）}]$$≤-2\sqrt{-（x+1）•\frac{1}{-（x+1）}}=-2$，
当且仅当$-（x+1）=\frac{1}{-（x+1）}$，即x=-2时等号成立，此时y≤-3．
综上，y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．