Question

17．已知函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$时取最大值2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），求sin（$\frac{π}{6}$-2α）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：T=π，A=2．利用$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，f（x）=2sin（2x+φ），由于在x=$\frac{π}{12}$时取最大值，可得$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），0＜φ＜π），解得φ即可得出．
（2）由f（α）=$\frac{2}{3}$，可得sin$（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{3}$，又sin（$\frac{π}{6}$-2α）=cos$（2α+\frac{π}{3}）$，利用三角函数的平方关系即可得出．

解答 解：（1）由x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
得：T=π．
函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$时取最大值2，∴A=2．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵在x=$\frac{π}{12}$时取最大值，
∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），0＜φ＜π），∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin$（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵f（α）=$\frac{2}{3}$，∴2sin$（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{2}{3}$，∴sin$（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{3}$，
∵sin（$\frac{π}{6}$-2α）=cos$（2α+\frac{π}{3}）$，∵$\frac{π}{2}$＜2$α+\frac{π}{3}$＜π，∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=$-\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{6}$-2α）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数的平方关系，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．