Question

5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+3，求数列{nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2a_n+3两边同时加3即可得出{a_n+3}为等比数列，从而求出a_n；
（II）nb_n=n2ⁿ⁺¹，使用错位相减法求出S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴{a_n+3}是以a₁+3为首项，公比为2的等比数列，
∴${a_n}+3=（{a_1}+3）•{2^{n-1}}$=2ⁿ⁺¹，
∴${a_n}={2^{n+1}}-3$．
（Ⅱ）b_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹．
∴$n{b_n}=n•{2^{n+1}}$，
∴${S_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+…+n•{2^{n+1}}$，①
∴$2{S_n}=1•{2^3}+2•{2^4}+…+n•{2^{n+2}}$，②
①-②得：$-{S_n}={2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}-n•{2^{n+2}}$=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²，
∴${S_n}=（n-1）•{2^{n+2}}+4$．

点评 本题考查了等比数列的判定，错位相减法数列求和，属于中档题．