Question

16．给出下列命题：其中正确命题的序号是①③ （把你认为正确的序号都填上）
①函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$；
④点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则点O是三角形ABC的内心．

Answer 1

分析 ①根据余弦函数的对称中心在x轴上可判断；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，但不一定在同一个单调区间上，不一定tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，可判断两向量共线且方向，根据共线定理可判断；
④根据题意，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，可得OB⊥CA，可判断为垂心．

解答 解：①f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∵f（-$\frac{5π}{12}$）=0，
∴（-$\frac{5π}{12}$，0）是函数的对称中心；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，不一定tanα＞tanβ，比如2π$+\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$，故错误；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则两向量共线且方向，故存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，故正确；
④点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$
=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，
∴OB⊥CA，
同理可得OA⊥BC，
则点O是三角形ABC的垂心，故错误．
故答案为：①③．

点评 考查了余弦函数的中心对称，向量的共线和数量积等概念，属于基础题型，应熟练掌握．