Question

6．已知函数f（x）=alnx-2x²（a∈R）
（1）求f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+3x²+$\frac{2}{x}$，g（x）的导数为g′（x），对于两个不相等的正数x₁，x₂，求证：当a≤4时|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 （1）求导，f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-4{x}^{2}}{x}$，分类当a≤0，f′（x）＜0，函数无极值，当a＞0，f′（x）=0，求得可能的极值点，根据函数的单调性，求得f（x）的极值；
（2）求得g（x），求导，|g′（x₁）-g′（x₂）|=|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，欲证|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．只需证|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，根据基本不等式的关系，只要证：2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，构造辅助函数，t=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$，求导μ′（t）=4t（3t-2），根据函数单调性，求得函数的极小值，f（x）_极小值=$\frac{38}{27}$＞1，即可证明|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-4{x}^{2}}{x}$，
若a≤0，则f′（x）＜0恒成立，
则f（x）在（0，+∞），上为单调递减函数，既无极小值也无极大值；
当a＞0，f′（x）=$\frac{（\sqrt{a}-2x）（\sqrt{a}+2x）}{x}$，
令f′（x）=0，求得x=$\frac{\sqrt{a}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
当0＜x$\frac{\sqrt{a}}{2}$时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞$\frac{\sqrt{a}}{2}$，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x=$\frac{\sqrt{a}}{2}$处f（x）取极大值，极大值为f（$\frac{\sqrt{a}}{2}$）=aln$\frac{\sqrt{a}}{2}$-$\frac{a}{2}$，无极小值，
证明：（2）g（x）=x²+$\frac{3}{x}$+alnx，
求导g（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，
∴|g′（x₁）-g′（x₂）|=|2x₁-$\frac{2}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{a}{{x}_{1}}$-（2x₂-$\frac{2}{{x}_{2}^{2}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$）|，
=|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，
由|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|，
∴|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，
2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
设t=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$，μ（t）=2+4t³-4t²，（t＞0），
μ′（t）=4t（3t-2），
列表如下：

t	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
μ′（t）	-	0	+
μ（t）	↓	极小值$\frac{38}{27}$	↑

∴μ（x）≥$\frac{38}{27}$＞1，即2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞1，|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，
∴|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞|x₁-x₂|．
∴a≤4时，|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

点评 本题考查利用导数求函数的极值及单调性，考查导数的应用，考查计算能力，分析问题及解决问题的能力，属于中档题．