Question

18．函数y=x³-2ax+a在（1，2）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{2}$）
• B． （0，3）
• C． （$\frac{3}{2}$，6）
• D． （0，6）

Answer 1

分析 求导，函数y=x³-2ax+a在（1，2）内有极小值，导函数在（1，2）内至少有一个实数根，从而求得实数a的取值范围．

解答 解：对于函数y=x³-2ax+a，求导可得y′=3x²-2a，
∵函数y=x³-2ax+a在（1，2）内有极小值，
∴y′=3x²-2a=0，则其有一根在（1，2）内，
a＞0时，3x²-2a=0两根为±$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，
若有一根在（1，2）内，则1＜$\frac{\sqrt{6a}}{3}$＜2，
即$\frac{3}{2}$＜a＜6，
a=0时，3x²-2a=0两根相等，均为0，f（x）在（1，2）内无极小值，
a＜0时，3x²-2a=0无根，f（x）在（1，2）内无极小值，
综合可得，$\frac{3}{2}$＜a＜6，
故选：C．

点评 考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．