Question

3．设函数f（x）=$\frac{x+a}{x+1}$，M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M?P，则实数a的取值范围．

Answer 1

分析 可讨论a：a＞1，a＜1，和a=1，然后求出每种情况的集合M，然后求导数$f′（x）=\frac{1-a}{（x+1）^{2}}$，容易判断a＜1时，任意x≠-1都满足f′（x）＞0成立，而a≥1时，P=∅，从而根据条件知a满足a＜1，即得出实数a的取值范围．

解答 解：a＞1时，M={-a＜x＜-1}；
a＜1时M={x|-1＜x＜-a}；a=1时M=∅；
$f′（x）=\frac{1-a}{（x+1）^{2}}$；
∴a＜1时f′（x）＞0恒成立，a≥1时f′（x）＞0的解为空集；
∵M?P；
∴a的范围是（-∞，1）．

点评 考查讨论参数a从而解分式不等式的方法，商的导数的计算公式，以及描述法表示集合的定义，真子集的概念．