Question

18．设复数z=（x-1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则：
（1）复数z对应的点构成的区域的面积为π
（2）y≥x的概率为$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$．

Answer 1

分析 （1）利用复数的模，求出轨迹方程，利用表达式的几何意义求解面积即可．
（2）判断复数对应点图及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，根据几何概率的公式计算即可．

解答 解：（1）复数z=（x-1）+yi（x，y∈R），|z|≤1，
∴（x-1）²+y²≤1，
∴（x，y）在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的上和圆的内部的点，
复数z对应的点构成的区域的面积为：π．
（2）复数对应点图及内部部分，y≥x的图形是图形中阴影部分，
圆的面积为S=π，
S_阴影=$\frac{1}{4}$π-$\frac{1}{2}$，
∴则y≥x的概率为P=$\frac{{S}_{阴影}}{S}$=$\frac{\frac{1}{4}π-\frac{1}{2}}{π}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$，
故答案为：（1）π；（2）$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$．

点评 本题考查了复数的几何意义，几何概型的概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于中档题．