Question

11．设函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
（1）若f（x）＞-x-1恒成立，求a的取值范围；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）把f（x）＞-x-1恒成立转化为ax²-2ax+3＞0恒成立．然后分a=0和a≠0分类求解得答案；
（2）不等式f（x）＞0?ax²-（2a+1）x+2＞0．然后a=0和a≠0分类求解，当a≠0时，再分a＜0和a＞0，同时结合判别式大于0、等于0、小于0分类求解．

解答 解：（1）由f（x）＞-x-1恒成立，得ax²-（2a+1）x+2＞-x-1恒成立，
即ax²-2ax+3＞0恒成立．
当a=0时，不等式化为3＞0恒成立；
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2a）^{2}-12a＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜3．
综上，a的取值范围是0≤a＜3；
（2）不等式f（x）＞0?ax²-（2a+1）x+2＞0．
当a=0时，不等式解集为{x|x＜2}；
当a＜0时，解得$\frac{1}{a}＜x＜2$，不等式解集为$\{x|\frac{1}{a}＜x＜2\}$；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，解得x$＞\frac{1}{a}$或x＜2，不等式解集为$\{x|x＞\frac{1}{a}$或x＜2}；
当$a=\frac{1}{2}$时，原不等式化为（x-2）²＞0，即x≠2，不等式解集为{x|x≠2}；
当$a＞\frac{1}{2}$时，解得x＜$\frac{1}{a}$或x＞2，不等式解集为{x|x＞2或$x＜\frac{1}{a}\}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了一元二次方程根的分布、一元二次不等式的解集与一元二次函数图象间的关系，训练了利用分类讨论法求解含有字母系数的不等式，是中档题．