Question

19．已知函数f（x）=ax²-$\frac{a}{2}$+1，g（x）=x+$\frac{a}{x}$．
（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，对任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax²-$\frac{a}{2}$+1＞0恒成立，分离参数a后得到a$＞\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；
（2）当a＞0时，对任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于f（x）_min≥g（x）_min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．

解答 解：（1）f（x）＞0?ax²-$\frac{a}{2}$+1＞0⇒a$＞\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$在x∈[1，2）上恒成立，
∵x∈[1，2），∴x²∈[1，4），${x}^{2}-\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），则$\frac{-1}{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$∈[-2，$-\frac{2}{7}$），
∴a$≥-\frac{2}{7}$，
则a的取值范围是[$-\frac{2}{7}，+∞$）；
（2）当a＞0时，对任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
等价于f（x）_min≥g（x）_min在区间[1，2]上成立，
当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴$f（x）_{min}=f（1）=1+\frac{a}{2}$，
$g（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{1+a，0＜a＜1}\\{2\sqrt{2}a，1≤a≤4}\\{2+\frac{a}{2}，a＞4}\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{1+a≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{2+\frac{a}{2}≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤4}\\{2\sqrt{a}≤1+\frac{a}{2}}\end{array}\right.$③．
解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．
综上，a的取值范围为[1，4]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法，是中档题．