Question

4．已知函数f（x）=mx³-3mx²（m∈R，m≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当m＞0，若函数g（x）=f（x）+1-m有三个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极值，结合函数的零点问题得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f（x）的单调增区间是（0，2）；
综上，当m＜0时，函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
（Ⅱ） 由g（x）=f（x）+1-m及f（x）=mx³-3mx²，
当m＞0，g（x）=mx³-3mx²+1-m，g′（x）=3mx（x-2），
当g′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，则函数g（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当g′（x）＜0，得0＜x＜2，则函数g（x）的单调减区间是（0，2），
所以g（x）有极大值g（0）=1-m和极小值g（2）=1-5m，
因为g（x）有三个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1-m＞0}\\{g（2）=1-5m＜0}\end{array}\right.$，
得：$\frac{1}{5}$＜m＜1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．