Question

7．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，解得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=3x²+a，
若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$至多有一个零点，
此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，
令f′（x）=0，则x=±$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
∵g（1）=0，
∴若h（x）有3个零点，则$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}-3＜a＜0\\ \frac{5}{4}+a＞0\\ \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}+\frac{1}{4}＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$），
故答案为：（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$）

点评 本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．