Question

10．设有抛物线C：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-4，过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限，求切线方程．

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出切线方程，联立方程组，利用判别式为0，求解即可．

解答 解：设点P的坐标为（x₁，y₁），则y₁=kx₁①
y₁=-x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{9}{2}$x₁-4②
①代入②得x${\;}_{1}^{2}$+（k-$\frac{9}{2}$）x₁+4=0．
∵P为切点，
∴△=（k-$\frac{9}{2}$）²-16=0得k=$\frac{17}{2}$或k=$\frac{1}{2}$…（6分）

当k=$\frac{17}{2}$时，x₁=-2，y₁=-17．
当k=$\frac{1}{2}$时，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，
∴所求的斜率k=$\frac{1}{2}$．
故所求切线方程为y=$\frac{1}{2}$x…（10分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，切线方程的求法，考查计算能力．