Question

1．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知2cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$+1=0．
（ I）求sinC的值；
（ II）若a²+b²=4（a+b）-8，求c的值．

Answer 1

分析 （ I）由条件可得 2cos$\frac{C}{2}$=1+sin$\frac{C}{2}$，平方利用二倍角公式可得 1+5cosC=4$\sqrt{\frac{1-cosC}{2}}$，平方化简求得cosC的值，可得sinC的值．
（ II）由条件可得（a-2）²+（b-2）²=0，求得 a=b=2，再利用余弦定理求得c的值．

解答 解：（ I）△ABC中，∵2cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$+1=0，
∴2cos$\frac{C}{2}$=1+sin$\frac{C}{2}$，
∴4${cos}^{2}\frac{C}{2}$=1+2sin$\frac{C}{2}$+${sin}^{2}\frac{C}{2}$，
即 4•$\frac{1+cosC}{2}$=1+2•$\sqrt{\frac{1-cosC}{2}}$+$\frac{1-cosC}{2}$，
即 $\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$cosC=2$\sqrt{\frac{1-cosC}{2}}$，
即 1+5cosC=4$\sqrt{\frac{1-cosC}{2}}$，
平方可得1+25cos²C+10cosC=16•$\frac{1-cosC}{2}$，
求得cosC=-1（舍去），或cosC=$\frac{6}{25}$，
∴sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{589}}{25}$．
（ II）若a²+b²=4（a+b）-8，
∴（a-2）²+（b-2）²=0，
∴a=b=2．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}-2ab•cosC}$=$\sqrt{4+4-8•\frac{6}{25}}$=$\frac{2\sqrt{38}}{5}$．

点评 本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系，考查三角形中的余弦定理，属于中档题．