Question

9．设f（x）=e^x（ax²+3），其中a为实数，e为自然对数的底数
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）为[1，2]上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≥[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_max或a≤[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_min，x∈[1，2]，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=e^x（-x²+3），
f′（x）=-e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：-3＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-3，
故f（x）在（-∞，-3）递减，在（-3，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极小值=f（-3）=-$\frac{6}{{e}^{3}}$，f（x）_极大值=f（1）=2e；
（2）f′（x）=e^x（ax²+2ax+3），
若f（x）为[1，2]上的单调函数，
即ax²+2ax+3≥0或ax²+2ax+3≤0在x∈[1，2]恒成立，
故只需a≥[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_max或a≤[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_min，x∈[1，2]，
而y=-$\frac{3}{x（x+2）}$∈[-1，-$\frac{3}{8}$]，
故a≥-$\frac{3}{8}$或a≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．