Question

11．已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为$\frac{15}{2}$；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心O，则PO长为$\sqrt{23}$；
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由PA由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，从而得到四个面都是直角三角形；连接CM，当PM⊥平面ABC时，得到BM=AM=CM，从而得到PA=PB=PC；当PC⊥平面ABC时，CM⊥AB时，CM取得最小值，由此求出S_△PCM的最小值是6；设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO²+OC²=PC²，从而能求出PO=$\sqrt{23}$．

解答 解：对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，
故四个面都是直角三角形，故①正确；
对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA²=PM²+MA²，
PB²=PM²+BM²，PC²=PM²+CM²，
因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM=AM=CM，
故PA=PB=PC，故②正确；
对于③，当PC⊥平面ABC时，
S_△PCM=$\frac{1}{2}$PC•CM=$\frac{1}{2}$×5×CM．
CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为$\frac{12}{5}$，
所以S_△PCM的最小值是$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6，故③错误；
对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO²+OC²=PC²，
又内切圆半径r=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，所以OC=$\sqrt{2}$，
PO²=PC²-OC²=25-2=23，故PO=$\sqrt{23}$，故④正确．
综上，正确的命题有①②④．
故选：C．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间中的角与距离的计算问题，是综合性题目．