【题目】销售甲乙两种商品所得利润分别是(单位:万元)和(单位:万元),它们与投入资金(单位:万元)的关系有经验公式,.今将10万元资金投入经营甲乙两种商品,其中对甲种商品投资(单位:万元).
(1)试建立总利润(单位:万元)关于的函数关系式,并写出定义域;
(2)如何投资经营甲乙两种商品,才能使得总利润最大,并求出最大总利润.
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【题目】四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,, , 是中点,点在侧棱上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若是中点,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中组小鼠给服甲离子溶液,组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于”,根据直方图得到的估计值为.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点,直线交椭圆于不同的两点,设线段的中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积为(其中为坐标原点)且时,试问:在坐标平面上是否存在两个定点,使得当直线运动时,为定值?若存在,求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某企业生产,两种产品,根据市场调查与预测,产品的利润与投资成正比,其关系如图1,产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,(注:利润与投资单位:万元)
(1)分别将,两种产品的利润表示为投资的函数关系,并写出它们的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,全部投入到,两种产品的生产,怎样分配资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).
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【题目】已知函数的图象为不间断的曲线,定义域为,规定:
①如果对于任意,都有,则称函数是凹函数.
②如果对于任意,都有,则称函数是凸函数.
(1)若函数(且)是凹函数,试写出实数的取值范围;(直接写出结果,无需证明);
(2)判断函数是凹函数还是凸函数,并加以证明;
(3)若对任意的且,,试证明存在,使.
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【题目】已知函数,(为实数).
(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值;
(3)若存在两个不等实数,使方程成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2﹣x)(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)﹣g(x)的定义域;
(2)判断f(x)﹣g(x)的奇偶性并证明;
(3)求f(x)﹣g(x)>0中x取值范围,
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴轴分别交于两点.
①设直线斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;
②求面积的最大值.
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