【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴
轴分别交于
两点.
①设直线斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
②求面积的最大值.
【答案】(1).
(2) ①证明见解析,;②
.
【解析】试题分析:(1)首先由题意得到,即
.
将代入
可得
,
由,可得
.
得解.
(2)(ⅰ)注意从确定的表达式入手,探求使
成立的
.
设,则
,
得到,
根据直线BD的方程为,
令,得
,即
.得到
.
由,作出结论.
(ⅱ)直线BD的方程,
从确定的面积表达式
入手,应用基本不等式得解.
试题解析:(1)由题意知,可得
.
椭圆C的方程可化简为.
将代入可得
,
因此,可得
.
因此,
所以椭圆C的方程为.
(2)(ⅰ)设,则
,
因为直线AB的斜率,
又,所以直线AD的斜率
,
设直线AD的方程为,
由题意知,
由,可得
.
所以,
因此,
由题意知,
所以,
所以直线BD的方程为,
令,得
,即
.
可得.
所以,即
.
因此存在常数使得结论成立.
(ⅱ)直线BD的方程,
令,得
,即
,
由(ⅰ)知,
可得的面积
,
因为,当且仅当
时等号成立,
此时S取得最大值,
所以的面积的最大值为
.
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【题目】销售甲乙两种商品所得利润分别是(单位:万元)和
(单位:万元),它们与投入资金
(单位:万元)的关系有经验公式
,
.今将10万元资金投入经营甲乙两种商品,其中对甲种商品投资
(单位:万元).
(1)试建立总利润(单位:万元)关于
的函数关系式,并写出定义域;
(2)如何投资经营甲乙两种商品,才能使得总利润最大,并求出最大总利润.
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【题目】已知函数的一段图象如图所示.
(1)求该函数的解析式;
(2)求该函数的单调增区间;
(3)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的?
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【题目】给出下列四个命题:
①若样本数据的方差为
,则数据
的方差为
;
②“平面向量的夹角为锐角,则
”的逆命题为真命题;
③命题“,均有
”的否定是“
,均有
”;
④是直线
与直线
平行的必要不充分条件.
其中正确的命题个数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:
年龄段 | ||||
人数(单位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
约定:此单位45岁~59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?
(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表,并回答能否有
的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?
热衷关心民生大事 | 不热衷关心民生大事 | 总计 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
总计 | 30 |
(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
.
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