Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）将点代入切线方程得出，求出函数的导数，由列出有关、的方程组，解出、，可得出函数的解析式；

（2）设点为函数图象上任意一点的坐标，利用导数求出函数在该点处的切线方程，求出切线与轴和直线的交点坐标，再利用三角形的面积来证明结论.

（1）将点的坐标代入直线的方程得，

，则，直线的斜率为，

于是，解得，故；

（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，

，又，

所以，曲线在点的切线方程为，

即，

令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，

联立，解得，

从而切线与直线的交点坐标为.

所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.