Question

【题目】已知函数f（x）＝loga（x+2），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，a≠1）．

（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；

（2）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性并证明；

（3）求f（x）﹣g（x）＞0中x取值范围，

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，2）；（2）奇函数，见解析（3）见解析．

【解析】

（1）定义域是使得两个对数的真数均为正即可；

（2）根据奇偶性定义判断；

（3）按和分类讨论．

（1）根据题意，函数f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x），

则有，解可得﹣2＜x＜2，

即函数的定义域为（﹣2，2）；

（2）根据题意，f（x）﹣g（x）为奇函数，

设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣2，2），关于原点对称；

且F（﹣x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）＝﹣F（x），

故函数f（x）﹣g（x）为奇函数，

（3）若f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x）＞0，

即loga（x+2）＞loga（2﹣x），

若a＞1，必有x+2＞2﹣x＞0，解可得：0＜x＜2，

此时x取值范围为（0，2）；

若0＜a＜1，必有0＜x+2＜2﹣x，解可得：﹣2＜x＜0，

此时x取值范围为（﹣2，0）；

故当a＞1时，x取值范围为（0，2）；

当0＜a＜1时，x取值范围为（﹣2，0）．