【题目】已知椭圆的焦距为
,且C与y轴交于
两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)由椭圆的焦距为
,可得
,由
可得
,结合
可得
,进而可得结果;(2)设
,可得
,直线
的方程为
,同理得直线
的方程为
, 求得
,
,可得圆的方程为
,利用这个圆与
轴相交,方程有两个不同的实数解,即可得结果.
试题解析:(Ⅰ)由题意可得,,
所以
,, 椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)设,
,
,
所以,直线
的方程为
,
同理得直线的方程为
,
直线与直线
的交点为
,
直线与直线
的交点为
,线段
的中点
,
所以圆的方程为.
令,则
, 因为
,所以
,
因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,
则,又0
,解得
.
解法二:直线的方程为
,与椭圆
联立得:
,
,>
同理设直线的方程为
可得
,
由,可得
,
所以,
,
的中点为
,
所以为直径的圆为
.
时,
,所以
,
因为为直径的圆与
轴交于
两点,所以
,
代入得:
,所以
,
所以在
单增,在
单减,所以
.
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【题目】已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形,
= 4且
⊥底面
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 面
;
(Ⅱ)在边上找一点
,使
∥面
,
并求三棱锥的体积.
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【题目】已知函数的图象为不间断的曲线,定义域为
,规定:
①如果对于任意,
都有
,则称函数
是凹函数.
②如果对于任意,
都有
,则称函数
是凸函数.
(1)若函数(
且
)是凹函数,试写出实数
的取值范围;(直接写出结果,无需证明);
(2)判断函数是凹函数还是凸函数,并加以证明;
(3)若对任意的且
,
,试证明存在
,使
.
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2﹣x)(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)﹣g(x)的定义域;
(2)判断f(x)﹣g(x)的奇偶性并证明;
(3)求f(x)﹣g(x)>0中x取值范围,
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【题目】已知直线l1:2x﹣y+2=0与l2:x+y+4=0.
(1)若一条光线从l1与l2的交点射出,与x轴交于点P(3,0),且经x轴反射,求反射光线所在直线的方程;
(2)若直线l经过点P(3,0),且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分,求直线l的方程.
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【题目】常州地铁项目正在紧张建设中,通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后,地铁的发车时间间隔 (单位:分钟)满足
,
.经测算,地铁载客量与发车时间间隔
相关,当
时地铁为满载状态,载客量为1200人,当
时,载客量会减少,减少的人数与
的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人,记地铁载客量为
.
⑴ 求的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时,地铁的载客量;
⑵ 若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知圆
:
(
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,圆
的极坐标方程
.
(1)分别写出圆的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(2)设圆与圆
的公共弦的端点为
,圆
的圆心为
,求
的面积.
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