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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.

    （1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；

    （2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.

    【答案】(1)见解析;(2)见解析.

    【解析】

    试题分析：（1）圆的参数方程利用平方法消去参数可得出圆的普通方程，，圆的极坐标方程两边同乘以利用 即可得圆的直角坐标方程；（2）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在直线方程为，利用点到直线距离公式及勾股定理求出弦长，由三角形面积公式可得结果.

    试题解析：（1）因为圆：（为参数），

    所以圆的普通方程是

    因为圆：，

    所以圆的直角坐标方程是.

    （2）因为圆：，

    圆：，

    两式相减，得，

    即公共弦所在直线为，

    所以点到的距离为，

    所以公共弦长为，

    所以.

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    年龄段

    人数（单位：人）

    180

    180

    160

    80

    约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.

    （1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？

    （2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？

    热衷关心民生大事

    不热衷关心民生大事

    总计

    青年

    12

    中年

    5

    总计

    30

    （3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    .

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