Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD．AB=AD=

1

2

CD=2，点M在线段EC上且不与E、C重合．
（1）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）当三棱锥M-BDE的体积为

16

9

时，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用三棱锥M-BDE的体积为

16

9

，求出M的坐标，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（2）解：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），
则∵三棱锥M-BDE的体积为

16

9

，
∴

1

3

S△DEM•AD=

16

9

，
∴S_△DEM=

8

3

，
∵S_△DEC=4，
∴

EM

EC

=

2

3

，
∴M（0，

8

3

，

2

3

），
设平面BDM的法向量

n1

=（x，y，z），∵D（0，0，0），F（2，0，2），∴

2x+2y=0 8 3 y+ 2 3 z=0

∴取

n1

=（1，-1，4），
∵平面ABF的法向量

n2

=（1，0，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1• 18

=

2

6

，
∴平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为

2

6

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，熟练掌握利用向量知识解决立体几何问题是解答本题的关键．