Question

若关于x的不等式a（x²+x+4）≥|x|对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：易判断x²+x+4＞0，从而原不等式可化为a≥

|x|

x2+x+4

⇒a≥(

|x|

x2+x+4

)max，分x=0、x＞0、x＜0三种情况进行讨论，可分别求得a的范围，最后对a取交集．

解答： 解：∵x²+x+4=(x+

1

2

)2+

15

4

＞0，
∴由a（x²+x+4）≥|x|，得
a≥

|x|

x2+x+4

⇒a≥(

|x|

x2+x+4

)max，
当x=0时，

|x|

x2+x+4

=0，此时只需a≥0；
当x＞0时，

|x|

x2+x+4

=

1

x+ 4 x +1

≤

1

2 x• 4 x +1

=

1

5

，当且仅当x=2时取等号，
此时a≥

1

5

；
当x＜0时，

|x|

x2+x+4

=

1

-x- 4 x -1

≤

1

2 (-x)• 4 -x -1

=

1

3

，当且仅当x=-2时取等号，
此时a≥

1

3

；
综上，a≥

1

3

．
故答案为：[

1

3

，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求函数的最值，考查转化思想、分类讨论思想，注意不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．