Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=sinθ

（θ参数），直线L的极坐标方程为ρ=

3 2

cosθ+2sinθ

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程与直线L的直角坐标方程．
（Ⅱ）P为曲线C上一点，求P到直线L距离的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C的参数方程消去参数化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的互化公式把直线L的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设曲线C上任一点为P（2cosθ，sinθ），求得它到直线的距离为d=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-3 2 |

5

，再根据正弦函数的值域求得d的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把曲线C的参数方程

x=2cosθ y=sinθ

化为普通方程是

x2

4

+y2=1，
把直线L的极坐标方程ρ=

3 2

cosθ+2sinθ

化为 ρ(cosθ+2sinθ)=3

2

，
即直线L的直角坐标方程是x+2y-3

2

=0．
（Ⅱ）设曲线C上任一点为P（2cosθ，sinθ），
它到直线的距离为d=

|2cosθ+2sinθ-3 2 |

12+22

=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-3 2 |

5

，
当sin(θ+

π

4

)=1时，dmin=

10

5

．

点评：本题主要考查把、参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．