Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

（a_n²+a_n），a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得m≤T_n＜m+3．对任意正整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用公式法求得a_n-a_n-1=1，由等差数列定义的数列{a_n}是等差数列，即可求得通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求得数列和，由数列的递增性及放缩法即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，

a

2 n-1

+a_n-1-2S_n-1=0，
∴（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
又当n=1时，

a

2 1

+a₁-2a₁=0，∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（Ⅱ）∵T_n=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，
∴

1

2

T_n=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
两式相减得

1

2

T_n=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n，
T_n=4[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n+1=4-4•(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=4-（2n+4）(

1

2

)n，
∴T_n＜4，
又∵T_n+1-T_n=4-（2n+6）(

1

2

)n+1-4+（2n+4）(

1

2

)n=(

1

2

)n（n+1）＞0，
∴T_n≥T₁=1，
∴存在正整数m=1满足题意．

点评：本题主要考查数列通项公式及前n项和的求法，考查学生的运算求解能力，属中档题．