Question

（2011•朝阳区二模）已知区域D：

y≥2 x+y-2≥0 x-y-1≤0.

则x²+y²的最小值是

4

；
若圆C：（x-a）²+（y-2）²=2与区域D有公共点，则实数a的取值范围是

[-2，5]

．

Answer 1

分析：先画出不等式组对应的平面区域，则x²+y²=（x-0）²+（y-0）²，显然过点B（0，2）时，（x²+y²）_min=4；当圆（x-a）²+（y-2）²=2与两直线分别相切时，利用点到直线的距离公式，得求得a值，最后根据图形，得出圆C与区域D有公共点实数a的取值范围即可．

解答：解：画出不等式组对应的平面区域，
则x²+y²=（x-0）²+（y-0）²，
显然过点B（0，2）时，（x²+y²）_min=4．
当圆（x-a）²+（y-2）²=2与两直线分别相切时，
①利用点C到直线x-y-1=0的距离公式，得

|a-2-1|

2

=

2

，
求得a=5，或a=1（舍去）；
②同样，利用点C到直线x+y-2=0的距离公式，

|a+2-2|

2

=

2

，得a=-2，或a=2（舍去）．
根据图形，显然当a∈[-2，5]时圆C与区域D有公共点．
故答案为：4，[-2，5]．

点评：本题考查简单线性规划的应用、圆方程的综合应用，解答的关键数形结合的方法，将两点间的距离最小转化为点到直线的距离求最值．