Question

已知△ABC中，A=30°，BC=4，则AB+AC的最大值为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是余弦定理及基本不等式，由已知△ABC中，A=30°，BC=4，我们结合余弦定理得到(AB+AC)2=(

3

+2)AB•AC+16，再由基本不等式我们可以将式子变形为一个关于AB+AC的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：由余弦定理得：
cosA=cos30°=

3

2

=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

AB2+AC2-16

2AB•AC

即

3

AB•AC=AB2+AC2-16
即AB2+AC2=

3

AB•AC+16
即AB2+AC2+2AB•AC=(

3

+2)AB•AC+16
即(AB+AC)2=(

3

+2)AB•AC+16≤(AB+AC)2=

( 3 +2)

4

(AB+AC)2+16
即

(2- 3 )

4

(AB+AC)2≤16
即(AB+AC)2≤64(2+

3

)
∴AB+AC≤8

2+ 3

=4（

6

+

2

）
故答案为：4（

6

+

2

）

点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．