Question

5．已知数列{b_n}满足b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹，对于任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，则实数λ的取值范围（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 通过b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹与b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²作差可知b_n+1-b_n=2•3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹，进而（-1）^n-1λ＜$（{\frac{3}{2}）}^{n}$对于任意的n∈N^*恒成立，对n分奇数、偶数讨论即得结论．

解答 解：∵b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹，
∴b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²，
两式相减得：b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹]
=2•3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹，
∵对于任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，
∴对于任意的n∈N^*，都有3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜$（{\frac{3}{2}）}^{n}$对于任意的n∈N^*恒成立，
∴当n=2k-1时，λ＜$（\frac{3}{2}）^{2k-1}$≤$\frac{3}{2}$；
当n=2k时，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{2k}$≥-$\frac{9}{4}$；
综上所述，实数λ的取值范围是：（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．