Question

6．等腰Rt△ABO内接于抛物线y²=4x，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB，则△ABO的面积是16．

Answer 1

分析 设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，进而可求得AB的值，从而可得S_△OAB．

解答 解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₁²=4x₂，
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+4）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，4＞0，
∴x₁=x₂，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴AB=8，
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4×8$=16．
故答案为：16．

点评 本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．