Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点是抛物线y2=2

5

x的焦点，且双曲线C经过点(1，

3

)，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求实数k值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的焦点是(

5

2

，0)，知双曲线的c=

5

2

，由此能求出求双曲线C的方程．
（2）联立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0，当△＞0时，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2），由书达定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，由此能求出实数k值．

解答：解（1）抛物线的焦点是(

5

2

，0)，
则双曲线的c=

5

2

…（1分）
点在双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1上，则有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程为：4x2-y2=1…（5分）
（2）联立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
当△＞0时，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2）…（7分）（未写△扣1分）
由书达定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0
即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入，
可得：k2=2，k=±

2

，
检验合格．…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．