Question

我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），

AC

•

BD

=0，点E为y轴上一点，记∠EFA=a，其中a为锐角．
（1）求抛物线的方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得抛物线方程为：x²=4y．
（2）解：①由抛物线Γ焦点F（0，1）得，抛物线Γ方程为x²=4y；
②设AF=m，则点A（-msinα，mcosα+1），
∴（-msinα）²=4（1+mcosα），即m²sin²α-4mcosα-4=0．
解得：m=

2(cosα±1)

sin2α

，
∵m＞0，∴|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．
同理：|BF|=

2(1-sinα)

cos2α

，|DF|=

2(1+sinα)

cos2α

，|CF|=

2(1-cosα)

sin2α

．．
“蝴蝶形图案”的面积S=S_△AFB+S_△CFD=

4-4sinαcosα

(sinαcosα)2

，令t=sinαcosα，t∈(0，

1

2

]，

1

t

∈[2，+∞)．
则S=4•

1-t

t2

=4(

1

t

-

1

2

)2-1，
∴当

1

t

=2时，即α=

π

4

时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点直线与抛物线的关系、三角函数化简、换元法、二次函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．