Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若

3

acosB+bsinA=

3

c，求角A；
（Ⅱ）若b=

3

a，c=2，且△ABC的面积为

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，利用诱导公式变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出面积，将已知b=

3

a及已知的面积代入表示出sinC，再利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函数间的平方关系列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

acosB+bsinA=

3

c，
由正弦定理可得：

3

sinAcosB+sinBsinA=

3

sinC=

3

sin（A+B）=

3

sinAcosB+

3

cosAsinB，
即sinBsinA=

3

cosAsinB，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∴A=60°；
（Ⅱ）∵b=

3

a，△ABC的面积为

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，
∴a²sinC=2，∴sinC=

2

a2

①，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴4a²-2

3

a²cosC=4，∴cosC=

2a2-2

3 a2

②，
由①，②得：（

2

a2

）²+（

2a2-2

3 a2

）²=1，化简得a⁴-8a²+16=0，
∴（a²-4）²=0，
∴a=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．