Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2-

n+2

n

an(n∈N*)．
（I）求证：

an+1

an

=

n+1

2n

；
（II）求a_n及S_n；
（III）求证：

a

21

+

a

22

+

a

23

+…+

a

2n

＜

49

64

．

Answer 1

（ I）Sn=2-

n+2

n

an(n∈N*)，（1）Sn+1=2-

n+3

n+1

an+1，（2）（2分）
（2）-（1），得an+1=

n+2

n

an-

n+3

n+1

an+1，∴

an+1

an

=

n+1

2n

．（3分）
（ II）当n=1时，a1=S1=2-

1+2

1

a1，a1=

1

2

；                          （4分）
由（ I），得an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

•…•

an

an-1

=

1

2

•

2

2×1

•

3

2×2

•

4

2×3

•…•

n

2(n-1)

=

n

2n

即an=

n

2n

                                             （7分）
将an=

n

2n

代入Sn=2-

n+2

n

an(n∈N*)，得Sn=

2n+1-n-2

2n

．（8分）
（ III）由an=

n

2n

，则即证(

1

2

)2+(

2

22

)2+(

3

23

)2+…+(

n

2n

)2＜

49

64

下证：当n≥4，n∈N^*时，2ⁿ≥n²．
①当n=4时，2⁴=4²，成立；当n=5时，2⁵＞5²，成立；              （9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N^*）时，成立，即2^k≥k²，则
当n=k+1时，2^k+1≥2k²，令f（k）=2k²-（k+1）²=k²-2k-1，k≥4，k∈N^*，当k=4时有最小值7，故2k²＞（k+1）²，
∴2^k+1≥（k+1）²，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是，(

k

2k

)2＜

1

2k

．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得(

4

24

)2+(

5

25

)2+(

6

26

)2+…+(

n

2n

)2＜

1

8

-

1

2n

，
又(

1

2

)2+(

2

22

)2+(

3

23

)2=

41

64

，
两式相加，得(

1

2

)2+(

2

22

)2+(

3

23

)2+…+(

n

2n

)2＜

49

64

-

1

2n

＜

49

64

．（12分）