Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

3

，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

（n∈N^*）．证明：对一切n∈N^*，有
（Ⅰ）

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

；
（Ⅱ）0＜a_n＜1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n＞0，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

＞0（n∈N^*），a_n+1-a_n=

an2

n2

＞0，由此能证明对一切n∈N^*，

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

．
（Ⅱ）由已知得

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

k2

，当n≥2时，

1

an

=

1

a1

-

n-1

k=1

(

1

ak

-

1

ak+1

)＞

1

a1

-

n-1

k=1

1

k2

＞

n

n-1

＞1，由此能证明对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

解答： 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=

1

3

，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

（n∈N^*），
∴a_n＞0，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

＞0（n∈N^*），a_n+1-a_n=

an2

n2

＞0，
∴an+1＜an+

an•an+1

n2

，
∴对一切n∈N^*，

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N^*，ak+1=ak+

ak2

k2

＜ak+

1

k2

akak+1，
∴

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

k2

，
∴当n≥2时，

1

an

=

1

a1

-

n-1

k=1

(

1

ak

-

1

ak+1

)＞

1

a1

-

n-1

k=1

1

k2

＞3-[1+

n-1

k=1

1

k(k-1)

]
=3-[1+

n-1

k=1

(

1

k-1

-

1

k

)]
=3-（1+1-

1

n-1

）
=

n

n-1

＞1，
∴a_n＜1，又a1=

1

3

＜1，
∴对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．