Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b₃=a₃，T_n为{a_nb_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（2）由已知得b₁=a₁=1，b3=a3=32=9，从而d=

b3-b1

3-1

=

9-1

3-1

=4，进而b_n=1+（n-1）×4=4n-3，由此得到a_nb_n=（4n-3）3^n-1，再利用错位相减法能求出{a_nb_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
∴{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1.Sn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
（2）∵{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b₃=a₃，
∴b₁=a₁=1，b3=a3=32=9，
∴d=

b3-b1

3-1

=

9-1

3-1

=4，
∴b_n=1+（n-1）×4=4n-3，
∵由（1）可得a_nb_n=（4n-3）3^n-1，
∴S_n=3⁰+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1，
3S_n=3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ，
两式相减得：
-2S_n=1+4×3+4×3²+4×3³+…+4×3^n-1-（4n-3）×3ⁿ
=1+4（3+3²+3³+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=1+

4×3×(1-3n-1)

1-3

-（4n-3）×3ⁿ
=（5-4n）×3ⁿ-5，
∴S_n=

(4n-5)3n+5

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．