Question

设数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5，（n∈N^*）
（I）是否存在实数t，使{a_n+t}是等比数列？
（Ⅱ）设数列b_n=|a_n|，求{b_n}的前2014项和S₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=-4a_n+5，令a_n+1+t=-4（a_n+t），得t=-1，从而求出存在这样的实数t=-1，使{a_n+t}是等比数列．
（Ⅱ）由a_n-1=4•（-4）^n-1．得b_n=|a_n|=

1+4n，n为奇数 4n-1，n为偶数

，由此能求出{b_n}的前2014项和S₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，
令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）
得a_n+1=-4a_n-5t，则-5t=5，解得t=-1，…（4分）
从而a_n+1-1=-4（a_n-1）．
又a₁-1=4，∴{a_n-1}是首项为4，公比为-4的等比数列，
∴存在这样的实数t=-1，使{a_n+t}是等比数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n-1=4•（-4）^n-1．
∴b_n=|a_n|=

1+4n，n为奇数 4n-1，n为偶数

，（8分）
∴S₂₀₁₅=（1+4）+（4²-1）+（1+4³）+…+（4²⁰¹⁴-1）
=4+4²+4³+…+4²⁰¹⁴
=

4(1-42014)

1-4

=

42015-4

3

．…（12分）

点评：本题考查是否存在使得数列为等比数列的实数的判断与求法，考查数列的前2014项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．