Question

如图，四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，E，F，G，分别为AD，BC，A₁D₁的中点，A₁E⊥平面ABCD，DH⊥CG，H为垂直
（1）求证：A₁F∥平面CDG
（2）求证：CG⊥平面ADH．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接EF，则四边形A₁GCF为平行四边形，可得A₁F∥CG，又EF∥CD，且EF∩A₁F=F，CD∩CG=C，得平面A₁EF∥平面GDC，可证CD∥A₁F，从而可证A₁F∥平面CDG．
（2）先证AD⊥平面A₁EF，由A₁F?平面A₁EF，得AD⊥A₁F，由（1）知：A₁F∥CG，可得AD⊥CG，由DH⊥CG，DH∩AD=D，从而可证CG⊥平面ADH．

解答： 证明：（1）如图，连接EF，则∵四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，E，F，G，分别为AD，BC，A₁D₁的中点，
∴A₁G

∥

.

ED=CF，即四边形A₁GCF为平行四边形．
∴A₁F∥CG，
又∵EF∥CD，且EF∩A₁F=F，CD∩CG=C，
∴平面A₁EF∥平面GDC，
∴CD∥A₁F，CD∩CG=C，
∴A₁F∥平面CDG．
（2）∵四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，A₁E⊥平面ABCD，E，F，G，分别为AD，BC，A₁D₁的中点，
∴AD⊥A₁E，EF⊥AD，AD∩A₁E=A，
∴AD⊥平面A₁EF，
∵A₁F?平面A₁EF，
∴AD⊥A₁F，
∵由（1）知：A₁F∥CG，
∴AD⊥CG，
∵DH⊥CG，DH∩AD=D，
∴CG⊥平面ADH．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．