Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，

1

an+1

=

n-an

(n-1)an

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，从而

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

），进而得到

n-1

k=2

[

1

kak+1

-

1

(k-1)ak

]=-（1-

1

n-1

），由此能求出a_n=

1

3n-2

，n∈N^*．
（2）当k≥2时，ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，由此利用裂项求和法能证明对一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

解答： （1）解：∵a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4…），
∴当n≥2时，

1

an+1

=

n-an

(n-1)an

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，
两边同时除以n，得

1

nan+1

=

1

(n-1)an

-

1

n(n-1)

，
∴

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

），
∴

n-1

k=2

[

1

kak+1

-

1

(k-1)ak

]=-

n-1

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=-（1-

1

n-1

）
∴

1

(n-1)an

-

1

a2

=-（1-

1

n-1

），n≥2，
∴

1

(n-1)an

=

1

a2

-(1-

1

n-1

)=

3n-2

n-1

，
∴a_n=

1

3n-2

，n≥2，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=

1

3n-2

，n∈N^*．
（2）证明：当k≥2时，ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，
∴当n≥2时，

n

k=1

ak2=1+

n

k=2

ak2＜1+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=1+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)＜1+

1

6

=

7

6

，
又n=1时，a12=1＜

7

6

，
∴对一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．