Question

已知函数f（x）=sinωx+

3

cosωx的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．
（1）求ω的值；
（2）若f（

θ

2

+

π

12

）=

6

5

，θ∈（0，

π

2

），求sin2θ．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

），由已知及周期公式即可求ω的值．
（2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得f（

θ

2

+

π

12

）=2cosθ=

6

5

，可得cosθ，由θ∈（0，

π

2

），可得sinθ，sin2θ的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωx+

3

cosωx=2sin（ωx+

π

3

），
∵函数f（x）=sinωx+

3

cosωx的最小正周期为π，
∴T=π=

2π

ω

，解得：ω=2．
（2）∵f（

θ

2

+

π

12

）=2sin[2（

θ

2

+

π

12

）+

π

3

]=2sin（θ+

π

2

）=2cosθ=

6

5

，
∴cosθ=

3

5

，
∵θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ=

1-cos2θ

=

4

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期性，属于基本知识的考查．