Question

双曲线

x2

16

-

y2

9

=1上点P与两焦点F₁，F₂连线的夹角为60°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出两个焦点F₁、F₂ 的坐标，在△PF₁F₂中，由余弦定理及双曲线的定义得|PF₁|•|PF₂ |=36，从而求得△PF₁F₂面积

1

2

|PF₁|•|PF₂ |sin60°的值．

解答： 解：由题意得，a=4，b=3，c=5，
∴F₁（-5，0 ）、F₂（5，0），
在△PF₁F₂中，由余弦定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|
=（|PF₁ |-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂ |=4a²+|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+|PF₁|•|PF₂ |，
∴|PF₁|•|PF₂ |=36，
∴△PF₁F₂面积为

1

2

|PF₁|•|PF₂ |sin60°=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，求出|PF₁|•|PF₂ |的值是解题的关键．