Question

在三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF；
（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．                          
（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG?平面BEF，有EF?平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．
（Ⅲ）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E-ABC的体积．

解答： （共14分）
证明：（Ⅰ）因为PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，
所以AC⊥PB．
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．
又PB∩CB=B，
所以AC⊥平面PBC． …（5分）
（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．
因为AF=2FP，G为AF中点，所以F为PG中点．
在△PCG中，E，F分别为PC，PG中点，
所以EF∥CG．又CG?平面BEF，EF?平面BEF，
所以CG∥平面BEF．
同理可证GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，
所以平面CMG∥平面BEF．
又CM?平面CMG，
所以CM∥平面BEF．…（11分）
（Ⅲ）取BC中点D，连结ED．
在△PBC中，E，D分别为中点，所以ED∥PB．
因为PB⊥底面ABC，所以ED⊥底面ABC．
由PB=BC=CA=2，可得V=

1

3

S△ABC•ED=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

． …（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．