Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2 5

5

，过右焦点作垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为

8 5

5

+4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点B（-2，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，交圆O：x²+y²=8于M，N两点，若|MN|∈[4，2

7

]，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：对第（1）问，由离心率e的值，得a，c的关系式，由面积易得a，b，c的关系式，联立c²=a²-b²，即可得a，b的值．
对第（2）问，先设出直线l的方程，与圆的方程联立，消去x，得到一个关于y的一元二次方程，由韦达定理及弦长公式，得弦长|MN|的表达式，由|MN|∈[4，2

7

]，得m的取值范围；联立直线l与抛物线C的方程，消去x，同样得到一个关于y的另一个一元二次方程，由韦达定理及弦长公式，得弦长|PQ|的表达式，再用m表示原点O到直线l的距离d，即得△POQ面积的表达式，通过m的范围可探究△POQ面积的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
过F₂且与x轴垂直的直线交C于A，B．
由e=

2 5

5

，得

c

a

=

2

5

，即c=

2

5

a，
结合b²=a²-c²，得b2=

1

5

a2．
因为S四边形AF1BC=S△AF1C+S△BF1C=2S△AF1C，
由S四边形AF1BC=

8 5

5

+4，得2•

1

2

•(a+c)•

b2

a

=

8 5

5

+4，
即(a+

2

5

a)•

1 5 a2

a

=

8 5

5

+4，解得a²=20，
从而b2=

1

5

×20=4，
故椭圆C的方程为

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由直线l过点B（-2，0），可设l：x=my-2，
又设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
联立l与圆的方程，消去x，整理，得（m²+1）y²-4my-4=0，
由韦达定理，得

y1+y2= 4m m2+1 y1y2= -4 m2+1

，且△₁＞0，
则|MN|=

m2+1

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

m2+1

•

( 4m m2+1 )2+ 4×4 m2+1

=4•

2m2+1 m2+1

，
由|MN|∈[4，2

7

]，解得0≤m²≤3．
联立

x=my-2 x2 20 + y2 4 =1

，消去x，整理，得（m²+5）y²-4my-16=0，
由韦达定理，得

y3+y4= 4m m2+5 y3y4= -16 m2+5

，且△₂＞0，
则|PQ|=

m2+1

•

(y3+y4)2-4y3y4

=

m2+1

•

5m2+20 (m2+5)2

，
又原点O到直线l的距离d=

2

m2+1

，
所以S△POQ=

1

2

|PQ|•d=4

5

•

m2+4 (m2+5)2

=4

5

•

- 1 (m2+5)2 + 1 m2+5

，
令

1

m2+5

=t，则S△POQ=4

5

•

-(t- 1 2 )2+ 1 4

，
由0≤m²≤3，得

1

8

≤t≤

1

5

，所以

35

2

≤S_△POQ≤

8 5

5

，
故△OPQ面积的取值范围是[

35

2

，

8 5

5

]．

点评：1．本题考查了椭圆方程的求法，直线与圆的相交关系及直线与椭圆的相交关系等，综合性较强，关键是利用韦达定理表示弦长与三角形的面积．
2．要确定椭圆的标准方程，除了条件“c²=a²-b²”外，还需另外两个独立的条件，求解时应善于根据图形的几何性质或特征寻找关于a，b，c的等量关系．
3．对于三角形面积的取值范围或最值问题，一般是先引入参数，再用参数表示面积，转化为函数的值域问题求解．